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Posons nDt = 1 : par hypothèse, dans le laps de temps Dt = 1/n, A se produira au plus une fois. Le nombre k d'apparitions de A dans l'unité de temps (n sous intervalles de durée Dt) fournit la valeur de la variable aléatoire X qui apparaît comme variable binomiale, somme de n variables de Bernoulli identiques dont la probabilité de réalisation est l/n où l est le coefficient de proportionnalité issu de notre hypothèse. On a : Le dernier membre est un produit de quatre facteurs : lorsque n tend vers l'infini, le premier est constant, le second tend vers 1, le quatrième tend vers 1. Le troisième tend vers e-l. En effet, lorsque x tend vers zéro, ln(1 + x) est équivalent à x. Donc, pour n tendant vers l'infini, ln(1 - l /n) est équivalent à -l/n et par suite n x ln(1 - l /n) est équivalent à -l. C'est dire que (1 - l /n )n a pour limite e-l. D'où le résultat attendu : Prob(X = k) = e-llk/k!

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